1. 冲激函数

由 $\inti \vqty{a} \delta(at) \dt = \inti \delta(at) \dd{at} = 1$ 和 $t \ne 0$ 时 $\vqty{a} \delta(at) = 0$ 可知被积函数满足冲激函数的定义，即 $\vqty{a} \delta(at) = \delta(t)$.

2. 冲激函数高阶导数

一方面，

另一方面，

于是即有 $\delta^{(n)}(at) = \dfrac{\delta^{(n)}(t)}{\vqty{a}a^n}$. 证毕.

此外，也可以利用 1.2.4 相互关系去证明.